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【转载】《经济学原理》典型习题解析 第1期 

发布时间:2016-03-23 17:11

    来源:2015-11-19 陈永伟 经济学原理  微信号:jingjixue_yuanli

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今天是本栏目第一次与大家见面,在这档栏目里,主页菌将为大家挑选一些比较典型的经济学原理习题进行解析。今天,我们要分析的题目是这样的:

(进击的小明)“那一天,小明回想起了受分数支配的恐怖……和被囚禁在应试教育之笼中的屈辱……

小明总共有40小时的时间来复习两门功课:语文和数学。对小明来说,他在语文上每提高1分,需要花20分钟;而在数学上每提高1分,则只需要花15分钟。对于任何一门课,如果他不花时间准备,都将得0分。当然,两门课的满分都是100分。

a)请画出小明复习的“预算约束曲线”,横轴为语文分数,纵轴为数学分数。

b)如果小明只关心两门课的总分,请画出小明的无差异曲线。并说明,此时小明将在语文和数学的复习上各花多少时间?其得分状况又如何?

c)如果小明的目标是让两门课中较高分的那门课得分更高,请画出小明的无差异曲线。并说明,此时小明将在语文和数学的复习上各花多少时间?其得分状况又如何?

d)如果小明的目标是让两门课中较低分的那门课得分更高,请画出小明的无差异曲线。并说明,此时小明将在语文和数学的复习上各花多少时间?其得分状况又如何?

大家是不是觉得题目很逗B?如果答案是肯定的,那就说明,你应该没有在国发院选双学位,因为这就是一个引来很多吐槽的作业题……而且,它的变体还曾经被主页菌用作考试题(见下图,有图有真相),让一些同学心惊胆战……



 

好了,废话不说,让我们来看看这个题吧。这个题考察的主要是预算约束线和无差异曲线的画法。

我们知道,在消费者决策中,既定偏好的消费者需要在约束条件下,实现自己的效用最大化。在分析中,消费者的偏好状况经常被用无差异曲线来刻画;而约束条件则用预算约束线来刻画。需要注意的是,人们在显示中面临的预算约束可能是多样的,例如可能有金钱约束、时间约束,所以在分析问题时,可能会面临很多条约束线。

具体到本题,我们先来看第(1)问。在画预算约束线时,有一个小技巧,就是你可以先考虑极端情况:假如小明将所有的时间都花在复习语文上,可以拿多少分;都放在数学上,又可以拿多少分。这样,你就可以得到预算约束线的两个端点,将两个端点连起来,就可以得到一条斜线,这条斜线就是由时间约束带来的约束线,小明如果用尽了所有的复习时间,那么他可能得到的成绩组合一定在这条线上。这一点只要用一点小小的数学就能验证:如果将小明的语文和数学成绩分别记为x分和y分,那么为了让语文达到x分,小明就一共要付出x/3小时,而为了让数学达到y分,他就一共要付出y/4小时,两者相加不超过40小时,因此时间带来的预算约束线用方程表示就是x/3+y/4=40,在图上,它就是你刚才画出的那条斜线。

但是,大家要注意,小明在这里面临的约束可不只是这一个,他还面临两门课的分数上限这个约束。例如,语文最高才100分,他即使把所有时间都用来对此进行复习,也不可能超过这个限度,对于数学也有同样的问题。所以,他还面临这两条直线的约束,用公式表示,就是x=100y=100

所以,综合起来,小明面临的约束线,就是由图中紫色实线段和两条虚线线段围成的一个梯形。


再来看第(2)问。这里,小明只在乎两门课的总成绩,翻译成经济学的语言,就是他的效用函数只由两门课的成绩之和决定,如果将效用定义为u,那么其效用函数就可以写成u=x+y。对应的效用函数怎么画呢?很简单,你只要将u分别取不同的数值,那么u=x+y就变成了一组组不同的线性方程,用初中学到的知识,就可以画出它们了。这里需要注意的是,在我们说要画无差异曲线时,往往指要画一组,而非一条,所以在解题时,你需要给出几条作为示意(当然,理论上有无数条)。同时,如果在正规的考试或者答题时,最好用一个小箭头标明。

和刚才的预算约束线放在一张图里,大约是这个样子的(其中粗体斜线表示一组无差异曲线):


当你画出了无差异曲线和预算约束后,求解消费者的效用最大化问题就很简单了——你只要顺着消费者效用增加的方向(通常是向着右上方,但在一些情况,如存在厌恶品时,就不是这样),找到最远的那条无差异曲线和预算线相切(或相交)的那个点,那就是最优的选择点,它对应的那条无差异曲线就刻画了最大的效用。

具体到本题,容易知道,最优选择点是梯形右上角和某条无差异曲线的交点。容易求得,小明此时会花25小时复习数学,15小时复习语文。从而数学得100分,语文得45分,总分145

如果你会解(1)、(2)两问,那么(3)、(4)两问也是依样画葫芦。你要注意的只不过是无差异曲线的画法。

第(3)问中,小明只在乎得分高的那门课,或者翻译成共识,就是u=max{xy}。这样的无差异曲线怎么画呢?其实用最笨的方法就可以了。给定一个u,例如,u=60,那么y=60,而x是小于或等于60的任何一个值,它给小明带来的效用都是一样的,也就是说,(060)、(160)、(260)、……、(6060)都会在同一条无差异曲线上。同样的,(601)、(602)、……、(6060)也会在同一条无差异曲线上。知道了这点,就容易知道u=60所对应的那条无差异曲线应该是一条折线。同理,你可以得到u取其他值时的无差异曲线。画在图中,它是这样的:


采用和第(2)问中完全类似的推论,容易知道,在最优时小明会花25小时复习数学,15小时复习语文。从而数学得100分,语文得45分,总分145。或者花100/3小时复习语文,20/3小时复习数学,从而语文得100,数学得80/3分。

而对于第(4)问中的偏好,它所对应的效用函数为u=min{xy}。值得一提的是,这个形式的效用函数是著名的Leontief效用函数,它代表了效用函数中的两种商品是可以完全互补的,哪个少上一点都不能用另一种补偿。对于这一效用函数刻画的无差异曲线的画法,也可以用和对第(4)问中一样的方法进行分析。容易知道,它也是一组折线,不同的是,折的方向不同。具体来说,它大体是这个样子的:


容易知道,在这种偏好状况下,可知小明会花120/7小时复习数学,160/7小时复习语文。从而两门课各得480/7分。

总结一下,当我们考虑画预算约束和无差异曲线时,并用它来分析效用最大化问题时,需要注意:

1)约束线可能不止一条,不要漏掉;

2)如果能写出预算约束式的解析式,可以很好地帮助你画出它;

3)无差异曲线可以通过固定不同的u,靠找出xy的关系来描绘;

4)注意画无差异曲线时需要画一组,并且标识效用变化方向;

5)顺着消费者效用增加的方向,找到最远的那条无差异曲线和预算线相切(或相交)的那个点,那就是最优的选择点。

记住以上几条,那么相关的习题你就应该可以对付了!现在,你可以拿前面试卷中的那个题目来练一下手了!注意,这里你得到的预算约束线可能会曲里拐弯,而无差异曲线的形状也有些变化,总之,自己探索一下吧!

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